函数定义域和值域的区别?函数值域的几种求解方法?

一、定义域和定义域的表示方法

(1)在函数y=f(x)中，定义域指的是自变量x的所有取值所构成的“集合”(或“区间”)。

(2)定义域要表示成集合形式或区间形式。

(3)当定义域中的x的取值个数有限时，则不能表示成区间形式，而只能表示成集合形式。

二、值域和值域的表示方法

(1)在函数y=f(x)中，值域指的是函数值y的所有取值所构成的“集合”(或“区间”)。

(2)值域和定义域的表示方法相同，值域也要表示成集合形式或区间形式。

(3)当值域中的y的取值个数有限时，则不能表示成区间形式，而只能表示成集合形式。

三、应用举例

指出下列函数的定义域和值域。

【例1】y=1.

答案

：定义域为R;值域为{1}。

解析

：y=1是“y=1(x∈R)”的简写形式。所以，自变量x的取值范围为全体实数，函数值y的取值只有“1”.

【注】实数集“R”的区间形式为“(-∝,+∝)”。

【例2】y=x+1

答案

：定义域为R，值域也为R。

解析

：由函数图象易知函数自变量x的取值范围为全体实数，函数值y的取值范围也为全体实数。

【例3】y=x+1，(x=1，2，3.)

答案

：定义域{1，2，3}，值域{2，3，4}。

解析

：由“x=1，2，3”得自变量x的取值只有1、2、3这三个数，而且个数有限，所以只能把定义域表示成这三个取值所对应的集合形式，即{1，2，3}。

因为x=1时，y=2;x=2时，y=3;x=3时，y=4。所以函数值y的取值只有2、3、4这三个数，个数也有限。所以也只能把值域表示成y的这三个取值所对应的集合形式，即{2，3，4}。

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一、配方法。

将函数配方成顶点式的格式，再根据函数的定义域，求得函数的值域。(画一个简易的图能更便捷直观的求出值域。)

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二、常数分离

这一般是对于分数形式的函数来说的，将分子上的函数尽量配成与分母相同的形式，进行常数分离，求得值域。

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三、逆求法

对于y=某x的形式，可用逆求法，表示为x=某y，此时可看y的限制范围，就是原式的值域了。

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四、换元法

对于函数的某一部分，较复杂或生疏，可用换元法，将函数转变成我们熟悉的形式，从而求解

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五、单调性

可先求出函数的单调性(注意先求定义域)，根据单调性在定义域上求出函数的值域。

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六、基本不等式

根据我们学过的基本不等式，可将函数转换成可运用基本不等式的形式，以此来求值域。

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七、数形结合

可根据函数给出的式子，画出函数的图形，在图形上找出对应点求出值域

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八、求导法

求出函数的导数，观察函数的定义域，将端点值与极值比较，求出最大值与最小值，就可的到值域了。

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九、判别式法

将函数转变成 ****=0 的形式，再用解方程的方法求出要满足的条件，求解即可。

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