悬臂梁弯矩计算公式图解_悬臂梁弯矩计算公式

1、弯曲变形:杆件在垂直于其轴线的载荷作用下，使原为直线的轴线变为曲线的变形。

2、 梁Beam--以弯曲变形为主的直杆称为直梁，简称梁。

3、 弯曲bending 平面弯曲plane bending7.1.2梁的计算简图 载荷: (1)集中力 concentrated loads (2)集中力偶 force-couple (3)分布载荷 distributed loads 7.1.3梁的类型 (1)简支梁simple supported beam 上图 (2)外伸梁overhanging beam (3)悬臂梁cantilever beam 7.2 梁弯曲时的内力 7.2.1梁弯曲时横截面上的内力--剪力shearing force和弯矩bending moment 问题: 任截面处有何内力? 该内力正负如何规定? 例7-1 图示的悬臂梁 AB ，长为 l ，受均布载荷 q 的作用，求梁各横截面上的内力。

(资料图)

4、 求内力的方法--截面法 截面法的核心--截开、代替、平衡 内力与外力平衡 解:为了显示任一横截面上的内力，假想在距梁的左端为x处沿m-m截面将梁切开 。

5、 梁发生弯曲变形时，横截面上同时存在着两种内力。

6、 剪力 -- 作用线切于截面、通过截面形心并在纵向对称面内。

7、 弯矩 -- 位于纵向对称面内。

8、 剪切弯曲 -- 横截面上既有剪力又有弯矩的弯曲。

9、 纯弯曲 -- 梁的横截面上只有弯矩而没有剪力。

10、 工程上一般梁(跨度 L 与横截面高度 h 之比 L/h ＞5)，其剪力对强度和刚度的影响很小，可忽略不计，故只需考虑弯矩的影响而近似地作为纯弯曲处理。

11、 规定:使梁弯曲成上凹下凸的形状时，则弯矩为正;反之使梁弯曲成下凹上凸形状时，弯矩为负。

12、7.2.2弯矩图bending moment diagrams 弯矩图:以与梁轴线平行的坐标x表示横截面位置，纵坐标y按一定比例表示各截面上相应弯矩的大小。

13、 例7-2 试作出例7-1中悬臂梁的弯矩图。

14、 解 (1)建立弯矩方程 由例7-1知弯矩方程为(2)画弯矩图 弯矩方程为一元二次方程，其图象为抛物线。

15、求出其极值点相连便可近似作出其弯矩图。

16、 例7-3 图示的简支梁 AB ，在C点处受到集中力 F 作用，尺寸 a 、 b 和 l 均为已知，试作出梁的弯矩图。

17、 解 (1)求约束反力 (2)建立弯矩方程 上例中梁受连续均布载荷作用，各横截面上的弯矩为x的一个连续函数，故弯矩可用一个方程来表达，而本例在梁的C点处有集中力F作用，所以梁应分成AC和BC两段分别建立弯矩方程。

18、例7-4 图示的简支梁 AB ，在C点处受到集中力偶 M 0 作用，尺寸 a 、 b 和 l 均为已知，试作出梁的弯矩图。

19、 解 (1)求约束反力 (2)建立弯矩方程 由于梁在C点处有集中力偶M作用，所以梁应分AC和BC两段分别建立弯矩方程。

20、 (3)画弯矩图 两个弯矩方程均为直线方程 总结上面例题，可以得到作弯矩图的几点规律: (1)梁受集中力或集中力偶作用时，弯矩图为直线，并且在集中力作用处，弯矩发生转折;在集中力偶作用处，弯矩发生突变，突变量为集中力偶的大小 。

21、 (2)梁受到均布载荷作用时，弯矩图为抛物线，且抛物线的开口方向与均布载荷的方向一致 。

22、 (3)梁的两端点若无集中力偶作用，则端点处的弯矩为0;若有集中力偶作用时，则弯矩为集中力偶的大小。

23、 7.3 梁纯弯曲时的强度条件 7.3.1梁纯弯曲(pure bending)的概念Concepts 纯弯曲 -- 梁的横截面上只有弯矩而没有剪力。

24、 Q = 0，M = 常数。

25、7.3.2梁纯弯曲时横截面上的正应力 Normal Stresses in Beams 1.梁纯弯曲时的 变形特点 Geometry of Deformation:平面假设: 1)变形前为平面变形后仍为平面 2)始终垂直与轴线 中性层 Neutral Surface :既不缩短也不伸长(不受压不受拉)。

26、 中性层是梁上拉伸区与压缩区的分界面。

27、 中性轴 Neutral Axis :中性层与横截面的交线。

28、 变形时横截面是绕中性轴旋转的。

29、 2.梁纯弯曲时横截面上正应力的分布规律 纯弯曲时梁横截面上只有正应力而无切应力。

30、 由于梁横截面保持平面，所以沿横截面高度方向纵向纤维从缩短到伸长是线性变化的，因此横截面上的正应力沿横截面高度方向也是线性分布的。

31、以中性轴为界，凹边是压应力，使梁缩短，凸边是拉应力，使梁伸长，横截面上同一高度各点的正应力相等，距中性轴最远点有最大拉应力和最大压应力，中性轴上各点正应力为零 。

32、 3.梁纯弯曲时正应力计算公式 在弹性范围内，经推导可得梁纯弯曲时横截面上任意一点的正应力为 式中， M 为作用在该截面上的弯矩( Nmm ); y 为计算点到中性轴的距离( mm ); Iz Moment of Area about Z-axis 为横截面对中性轴z的惯性矩( mm 4 )。

33、 在中性轴上 y = 0 ，所以 s = 0 ;当 y = y max 时， s = s max 。

34、 最大正应力产生在离中性轴最远的边缘处， Wz横截面对中性轴 z 的抗弯截面模量( mm 3 ) 计算时， M 和 y 均以绝对值代入，至于弯曲正应力是拉应力还是压应力，则由欲求应力的点处于受拉侧还是受压侧来判断。

35、受拉侧的弯曲正应力为正，受压侧的为负。

36、 弯曲正应力计算式虽然是在纯弯曲的情况下导出的，但对于剪切弯曲的梁，只要其跨度 L 与横截面高度 h 之比 L/h ＞5，仍可运用这些公式计算弯曲正应力。

37、 7.3.3惯性矩和抗弯截面模量 简单截面的惯性矩和抗弯截面模量计算公式7. 3.4梁纯弯曲时的强度条件 对于等截面梁，弯矩最大的截面就是危险截面，其上、下边缘各点的弯曲正应力即为最大工作应力，具有最大工作应力的点一般称为 危险点 。

38、 梁的弯曲强度条件是 : 梁内危险点的工作应力不超过材料的许用应力。

39、 运用梁的弯曲强度条件，可对梁进行强度校核、设计截面和确定许可载荷。

40、 7.4 提高梁强度的主要措施 提高梁强度的主要措施是: 1)降低弯矩 M 的数值 2)增大抗弯截面模量 W z 的数值 7.4.1降低最大弯矩 M max 数值的措施 1.合理安排梁的支承 2.合理布置载荷7.4.2合理选择梁的截面 1.形状和面积相同的截面，采用不同的放置方式，则 Wz 值可能不相同 2.面积相等而形状不同的截面，其抗弯截面模量 Wz 值不相同3.截面形状应与材料特性相适应 7.4.3采用等强度梁 对于等截面梁，除 M max 所在截面的最大正应力达到材料的许用应力外，其余截面的应力均小于，甚至远小于许用应力。

41、 为了节省材料，减轻结构的重量，可在弯矩较小处采用较小的截面，这种截面尺寸沿梁轴线变化的梁称为变截面梁。

42、 等强度梁 --使变截面梁每个截面上的最大正应力都等于材料的许用应力，则这种梁称之。

43、《建筑桩基技术规范》按梁上荷载分布将承台梁分为4种情况(图1)。

44、内力计算根据荷载情况分跨中和支座分别计算见表1。

45、 在表1的公式(1)~(7)中 p0--线荷载的最大值(kN/m),p0= a0--自桩边算起的三角形荷载的底边长度; LC--计算跨度,LC=1.05L; L--两相邻桩之间的净距; q--承台梁底面以上的均布荷载。

46、表1 墙下条形桩基连续承台梁内力计算公式内力 计算简图编号 内 力 计 算 公 式 支座弯矩 (a)、(b)、(c) (1) (d) M=- (2) 跨中弯矩 (a)、(c) M= (3) (b) (4) (d) M= (5) 最大剪力 (a)、(b)、(c) Q= (6) (d) Q= (7)图1 计算简图a0按下式计算: 中间跨 (8) 边 跨 (9) 其中 EC--承台梁砼弹性模量; EK--墙体的弹性模量; I--承台梁横截面的惯性矩; bK--墙体宽度。

47、 当承台梁为矩形截面时,I=bh3 则: 中间跨 a0=1.37h (10) 边 跨 a0=1.05h (11) 其中 b、h--分别为承台梁的宽度和高度。

48、 表1中弯矩公式共5个,公式中荷载取值也不统一,式(1)、(3)、(4)采用P0,式(2)、(5)采用q,这也给计算带来了不便。

49、下面分别对跨中和支座弯矩进行分析。

50、 (1)跨中弯矩 从计算简图可看出,(d)图是(b)图所示受力情况的特例,当a0≥LC时,取a0=LC代入式(4)即可得式(5)。

51、当a0＜时,跨中弯矩采用式(3),a0≥时,采用式(4)。

52、 令β=,并将P0==代入式(3)和式(4) 得: M=β2qL2C (13) (14) 将上两式统一表示为: M=A0qL2C (15) 式(15)即为跨中弯矩计算公式,它适用于图(a)~(d)所示的四种受力简图。

53、 (2)支座弯矩 图(a)、(c)、(d)均为图(b)所示受力情况的特例,式(1)为支座弯矩计算通式。

54、 将β=和P0==代入式(1) 得 M=β(2-β) (16) 或 M=B0qL2C (17) (3)弯矩系数A0、B0 跨中弯矩 M=A0qL2C (15) 支座弯矩 M=B0qL2C (17)其中 A0、B0--弯矩系数,分别为: β=≤0.5，A0=β2 β＞0.5时,A0=β B0=-β(2-β) A0、B0皆为β的单值函数,为简化计算,将其列表(表2)。

55、表2 墙下条形桩基连续承台梁内力系数β 内 力 系 数 β 内 力 系 数 A0 B0 A0 B0 0.10 0.00083 -0.01583 0.56 0.02590 -0.06720 0.12 0.00120 -0.01880 0.58 0.02753 -0.06863 0.14 0.00163 -0.02170 0.60 0.02907 -0.07000 0.16 0.00213 -0.02453 0.62 0.03053 -0.07130 0.18 0.00270 -0.02730 0.64 0.03190 -0.07253 0.20 0.003331 -0.03000 0.66 0.03317 -0.07370 0.22 0.00403 -0.03263 0.68 0.03433 -0.07480 0.24 0.00480 -0.03520 0.70 0.03539 -0.07583 0.26 0.00563 -0.03770 0.72 0.03635 -0.07680 0.28 0.00653 -0.04013 0.74 0.03722 -0.07770 0.30 0.00750 -0.04250 0.76 0.03799 -0.07853 0.32 0.00853 -0.04480 0.78 0.03867 -0.07930 0.34 0.00963 -0.04703 0.80 0.03927 -0.08000 0.36 0.01080 -0.04920 0.82 0.03979 -0.08063 0.38 0.01203 -0.05130 0.84 0.04023 -0.08120 0.40 0.01333 -0.05333 0.86 0.04061 -0.08170 0.42 0.01470 -0.05530 0.88 0.04091 -0.08213 0.44 0.01613 -0.05720 0.90 0.04116 -0.08250 0.46 0.01763 -0.05903 0.92 0.04136 -0.08280 0.48 0.01920 -0.06080 0.94 0.04150 -0.08303 0.50 0.02083 -0.06250 0.96 0.04159 -0.08320 0.52 0.02252 -0.06413 0.98 0.04165 -0.08330 0.54 0.02423 -0.06570 1.00 0.04167 -0.08333 式(15)和式(17)代替规范的5个公式,公式形式统一,且不需计算P0,直接采用均布荷载,结合内力系数表,设计计算十分简便。

56、剪力计算公式较简单,仍采用原公式。

57、3 算例(文献〔3〕) 五层混合结构房屋,砖墙承重,内墙厚240mm,外墙厚370mm。

58、基础采用直径320mm,长6m的钻孔灌注桩。

59、钢筋砼承台梁,梁高300mm,梁宽:外墙400mm;内墙350mm。

60、承台梁底面以上荷载为:横墙q=142.9kN/m;外纵墙q=85.0kN/m。

61、试计算外纵墙和内横墙墙下承台梁的内力(图2)。

62、 图2 单元桩基平面图 解: 1.外纵墙下承台梁 承台梁采用C20砼,I级钢筋,墙体采用MU7.5砖、M5混合砂浆。

63、 EC=2.55×104N/mm2 EK=1500f =1500×1.37 =2055N/mm2 (f--墙体抗压强度设计值) LC=1.05L=1.05(1.65-0.32) =1.40m＜1.65m 承台梁尺寸400mm×300mm (1)中间跨 a0=1.37h =1.37×300=977mm β===0.698 查表2,得:A0=0.03536 B0=-0.07581 则:跨中弯矩 M=A0qL2C=0.03536×85×14002 =5.89×***.mm 支座弯矩 M=B0qL2C=-0.07581×85×14002 =-12.63×***.mm (2)边跨 a0=1.05h =1.05×300=747mm β===0.534 查表2,得:A0=0.02372 B0=-0.06525 则:跨中弯矩 M=A0qL2C=0.02372×85×14002 =3.95×***.mm 梁端支座弯矩 MA=0 第二支座 MB=B0qL2C=-0.06525×85×14002 =-10.9×***.mm图3 纵墙承台梁计算简图 2.横墙下承台梁(近似按中跨计算) 承台梁尺寸350mm×300mm LC=1.05L=1.05(1.2-0.32) =0.92m＜1.2m a0=1.37h=1.37×300=1079mm β=＞1.0 取β=1.0 查表2,得:A0=0.04167 B0=-0.08333 跨中弯矩 M=A0qL2C=0.04167×142.9×9202 =5.0×***.mm 支座弯矩 M=B0qL2C=-0.08333×142.9×9202 =-10.1×***.mm 剪力计算较简单,略。

64、4 结语 通过上述分析与计算可以看出,本文提出的计算方法较《建筑桩基技术规范》(JGJ94-94)法形式简捷,计算简便,是一个实用的方法。

65、图4 横墙承台梁计算简图。

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